Exercícios 

Produtos Notáveis 

Produtos Notáveis – Exercícios Resolvidos

Veja alguns exercícios sobre produtos notáveis e descubra se você é um “expert” nesse assunto.

1) Qual fórmula deve ser usada para resolver o seguinte produto notável: (a+b)2

A.    a² + 2ab + b²

B.    a² – b²

C.    a² – 2ab + b²

D.    a² – 4ab + b²

E.    a³ + 2ab + b²

RESPOSTA CORRETA: “A”

O produto notável acima é o quadrado da soma de dois termos, cuja fórmula é a² + 2ab +b² .

(a + b)² = (a + b).(a +b)

(a + b).(a +b) = a² + ab + ab +b²

(a + b).(a +b) = a² + 2ab +b²

2)Determine o valor de “b” para que a equação (9-b).(4+b) = 65

A.    5

B.    2

C.    3

D.    4

E.    0

F.    1

RESPOSTA CORRETA: “D”

Para revolvermos a questão de forma rápida devemos aplicar a fórmula do produto notável Soma pela Diferença: a2- b2 .

Portanto:

(9-b).(4+b) = 65

(9-b).(4+b) = a2- b2

a2- b2 = 65

Sabemos que o valor de “a” é 9 e precisamos descobrir o valor de “b”.

92 – b2 = 65

81 – b2 = 65

81 – 65 = b2

b2 = 16

b = √16

b = 4

3)Qual ou quais os valores de a para que a equação (a – 2)2 = 16

A.    8

B.    -2

C.    -9

D.    6

E.    18

RESPOSTA CORRETA: “B” e “D”

Esse exercício aborda o produto notável Quadrado da diferença de dois termos. A fórmula para esse produto notável, como vimos no artigo Produtos Notáveis – Exemplos e Explicação  é a² – 2ab + b².

Sabemos que o valor de b é 2.

(a – 2)2 = 16

(a – 2)2 = a² – 2ab + b²

a² – 2ab + b² = 16

a² – 2.a.2 + 2² = 16

a² – 4a + 4 = 16

a² – 4a + 4 – 16 =0

a² – 4a – 12 =0

Neste ponto chegamos a uma equação do segundo grau e para melhor elucidação, substituiremos a incógnita “a” por “x”.

x² – 4x -12 = 0

X=(-b±√∆)/2a

∆=b²-4ac

∆=(-4²)-4.1.(-12)

∆=16+48

∆=64

X1=(-b-√∆)/2a

X1=(-(-4)-√64)/2.1

X1=(+4-8)/2

X1=(-4)/2

X1=-2

X2=(-b+√∆)/2a

X2=(-(-4)+√64)/2.1

X2=(+4+8)/2

X2=(+12)/2

X2=+6

Equação de 1º grau

1) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho?

Primeiramente vamos assumir que x seja a quantidade de carrinhos que eu possuo. Vamos montar então a expressão matemática por partes.

Sendo x a quantidade de carrinhos que eu possuo, ao adicionar 8, ficarei com x + 8.

Do enunciado sabemos que ele tem 28 carrinhos e se subtrairmos deste número a quantidade que eu possuo (x), ficaremos com quantidade iguais. Então:

x + 8 = 28 - x

A partir daí devemos deixar a incógnita x isolada no lado direito, passando os coeficientes para o outro lado.

O x que está sendo subtraído no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo adicionado.

x + x + 8 = 28

x mais x é igual a 2x, assim como uma laranja mais uma laranja é igual a duas laranjas.

2x + 8 = 28

Passemos agora o 8 que está sendo adicionado, para o outro lado, na operação inversa, ou seja, sendo subtraído:

2x = 28 - 8

Realizando a subtração:

2x = 20

O coeficiente 2 que está multiplicando a incógnita x, passará para o outro membro dividindo o termo 20:

Realizando a divisão encontramos a raiz 10:

x = 10

Portanto:

Eu tenho 10 carrinhos.

2) Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria?

Digamos que p seja o preço por kg da mercadoria. Como em ambos os casos eu teria um troco a receber, então o valor que eu dei em pagamento seria igual à massa comprada vezes o preço por kg mais o troco nas duas situações. Teríamos então:

O 6p que está sendo somado no segundo membro, passará ao primeiro membro sendo subtraído, ao mesmo tempo em que o 1,25 à esquerda que está sendo somado passará à direita subtraindo:

Realizando as subtrações:

O coeficiente 1,5 que está multiplicando a incógnita p irá para o outro lado dividindo o termo 3,75:

Que dividindo dá:

Tomemos então o primeiro membro da equação inicial

Ele representa quanto me custou o produto mais quanto recebi de troco, ou seja, quanto dei em dinheiro para o pagamento. Vamos então substituir p pelo valor encontrado de 2,5 e realizar os cálculos:

Portanto:

Eu dei R$ 20,00 em dinheiro para o pagamento da mercadoria.

3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

Partamos do princípio que a minha idade seja igual a x. Como o meu irmão tem 7 anos a mais que eu, então ele tem x + 7 anos de idade. Como a soma das idades é de 37 anos, podemos escrever a seguinte sentença:

Ou seja:

Passando para o outro lado o 7 como subtraindo, já que ele se encontra adicionando no primeiro membro, temos:

Realizando a subtração:

Passando o multiplicador 2 para a direita como divisor:

Que dividindo dá:

Portanto:

Eu tenho 15 anos de idade.

Equações de 2º grau

1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x² equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:

3x² = 63 - 12x

Que pode ser expressa como:

3x² + 12x - 63 = 0

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax² + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:

Primeiramente calculemos o valor de Δ:

Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.

Portanto:

Pedro tem 3 filhos.

2) Uma tela retangular com área de 9600cm² tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?

Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:

x . 1,5x = 9600

Que pode ser expressa como:

1,5x² - 9600 = 0

Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:

As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.

Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:

Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.

3) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação:

x² - (x - 20) = 2000

Ou ainda:

A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos:

As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo:

Agora eu tenho 45 anos.